W roku 1973 autorzy ci opublikowali wzór pozwalający wyceniać opcje na kupno bądź sprzedaż akcji. Mieli kłopot z publikacją pracy, ponieważ renomowane pisma nie widziały w niej nic ciekawego. Niewykluczone, że jakąś rolę odegrał fakt, iż różne wzory na wyceny opcji publikowano już od roku 1900, kiedy to Louis Bachelier w swojej pracy doktorskiej podał pierwszy z takich wzorów (opiekunem pracy był sam Henri Poincaré). Wszystkie poprzednie wzory miały rozmaite wady: dawały czasem ujemną cenę albo trzeba było w nich używać parametrów, o których nic nie wiadomo. Wzór Blacka-Scholesa był przełomem, nie tylko naukowym, ale i praktycznym, ponieważ zaczęto się nim powszechnie posługiwać i dzięki temu rozwinął się niesłychanie szybko rynek opcji. W roku 1997 Robert K. Merton i Myron Scholes otrzymali za to ekonomicznego Nobla (Fisher Black zmarł niedługo wcześniej).
Pokażemy, jakie podstawowe idee kryją się za modelem B-S, nie korzystając z ich oryginalnego podejścia, które było matematycznie zaawansowane.
Akcje giełdowe, a także różne inne ceny rynkowe, np. ceny surowców albo kursy wymiany walut zmieniają się w sposób trudny do przewidzenia. Wygląda to np. tak.
Nie możemy przewidzieć, co stanie się z ceną konkretnej akcji. Aby zabezpieczyć się przed nieprzewidywalnością rynku, stworzono opcje. Jeśli chcę za rok kupić akcję za 100 zł, mogę dziś wykupić za pewną sumę C opcję na kupno tej akcji za rok. Jeśli za rok akcje będą droższe niż 100 zł, zrealizuję swoją opcję i nadwyżkę zabiorę do kieszeni. Jeśli za rok akcje będą tańsze niż 100 zł – nie zrealizuję swojej opcji i nic mnie to nie będzie kosztować dodatkowo (oprócz kwoty C, którą płacę dziś). Można też wymyślić różne bardziej skomplikowane warunki, nie będziemy się tym zajmować. Co się zdarzy za rok z naszą akcją? Jak to mówił Niels Bohr oraz Miś Yogi: prognozy są trudne, zwłaszcza gdy dotyczą przyszłości. Może się wydarzyć jeden ze stu poniższych scenariuszy.
Albo może to wyglądać jakoś tak.
Znamy tylko początek krzywej: dzisiejszą cenę akcji.
Przebieg cen można potraktować jako błądzenie przypadkowe: nasza akcja wykonuje ruchy w górę i w dół. Nie wszystko jest tu jednak przypadkowe: akcja z drugiego rysunku wyraźnie mniej się odchyla od początkowej wartości. Ową skłonność do szaleństw nazywa się zmiennością akcji: informuje ona, czego średnio biorąc można się po danej akcji spodziewać. Zmienność to jedyny parametr potrzebny do znalezienia ceny opcji.
Rozpatrzmy skrajnie uproszczony model. Rozpatrujemy tylko 3 jednostki czasowe, np. 3 miesiące, i wyobrażamy sobie, że cena naszej akcji może z miesiąca na miesiąc zmienić się tylko o 10% w górę albo w dół. Inaczej mówiąc, poprzednia cena mnożona jest przez czynnik 1,1 albo 0,9. Prowadzi to do różnych możliwości zebranych w tabelce: strzałki zielone oznaczają wzrost o 10%, a czerwone spadek o 10%. W tym miejscu modelu wybraliśmy zmienność naszej akcji, gdyby była większa albo mniejsza, wygenerowane ceny miałyby większy albo mniejszy rozrzut.
Na koniec rozpatrywanego okresu mamy 4 możliwe wartości ceny. Załóżmy, że dziś chcemy kupić opcję ważną za trzy miesiące, a ceną wykonania ma być 100 zł – tzn. za 3 miesiące będziemy mieli prawo kupić akcję za 100 zł (mogłaby to być każda inna kwota, cena wykonania opcji i dzisiejsza cena akcji nie muszą mieć ze sobą nic wspólnego). Wartość opcji za 3 miesiące podaje ostatnia kolumna tabelki – wartość ta wynika z definicji opcji. W naszym modelu świat jest prosty i są to wszystkie możliwości.
Jaka cena opcji C będzie sprawiedliwa? Ano taka, żebyśmy mogli zabezpieczyć się przed zmianą cen naszej akcji S. Co to znaczy? Wyobraźmy sobie portfel złożony z jednej opcji oraz pewnej liczby akcji, którą oznaczymy 
(dopuszczamy ujemne współczynniki: dla akcji oznacza to tzw. krótką sprzedaż, czyli możliwość pożyczenia akcji, sprzedania jej, a potem odkupienia i oddania właścicielowi; jest to odwrotność posiadania akcji i opłaca się, gdy ceny spadają; dla wygody H może być też ułamkowe.) Wartość naszego portfela 
dziś równa jest
gdzie wskaźniki 
odnoszą się do danej chwili. Chcemy tak dobrać 
, aby nasz portfel za miesiąc wart był tyle samo (pomijamy tu zmianę wartości pieniądza w czasie, nie zmienia to istotnie rozumowań i łatwo jest ten defekt poprawić w razie potrzeby). A więc za miesiąc, bez względu na zmianę ceny akcji chcemy mieć dokładnie tyle samo:
gdzie wskaźniki + i – odnoszą się odpowiednio do zwyżki i zniżki ceny. Jeśli porównamy podwojony portfel z pierwszego równania z sumą dwóch takich portfeli, raz z indeksem +, raz z indeksem -, otrzymamy
Ponieważ u nas zmiany ceny w górę i w dół są takie same, zachodzi warunek
i ostatecznie wyrazy zawierające w równaniu (*) redukują się i zostaje nam bardzo prosty związek:
Znaczy to, że nasza cena opcji dziś jest średnią arytmetyczną dwóch cen za miesiąc. Takie rozumowanie możemy zastosować do dowolnej chwili i do dowolnego „rozgałęzienia” cen naszej akcji. Obliczając te średnie arytmetyczne wstecz od chwili, gdy ceny opcji są znane, możemy znaleźć cenę naszej opcji w chwili 0. W tabelce zaczynamy od prawej kolumny i kolejno obliczamy średnie wzdłuż strzałek.
Model ten nazywa się modelem dwumianowym i nie był wprowadzony oryginalnie przez Blacka i Scholesa, ale stanowi jedną z dróg do uzyskania wyniku B-S.
Do tej pory mówiliśmy o różnych możliwościach, ale nic nie mówiliśmy o prawdopodobieństwie. Zrobimy to teraz. Cała procedura znacznie się dzięki temu uprości. Zapiszmy związek cen opcji następująco:
Każdą wartość mnożymy przez 
. To ten sam wzór, nieco inaczej zapisany. Wyobraźmy sobie, że gramy w orła i reszkę. Gdy wypada orzeł, otrzymujemy 
; gdy wypadnie reszka: 
. Ponieważ orzeł i reszka wypada tak samo często, średnio biorąc zarabiamy w takiej grze 
. Możemy więc uznać, że każde rozgałęzienie ceny oznacza grę w orła i reszkę. Zależnie od wyniku cena zmienia się w górę albo w dół. Wartościom akcji za 3 miesiące – a więc i wartościom opcji za 3 miesiące odpowiadają teraz konkretne prawdopodobieństwa. Wygląda to następująco:
Na osi poziomej wypisaliśmy, ile warta jest opcja w każdym wariancie. Prawdopodobieństwa łatwo jest znaleźć, rozpatrując, na ile sposobów można uzyskać każdą cenę końcową. Nasza cena opcji jest po prostu równa
Co dalej? Nikt nam nie każe ograniczać się do 3 kroków, możemy np. obliczać ceny co 3 dni. Otrzymamy wówczas następujący rozkład dla cen akcji.
Gdy zrobimy odpowiednio dużo kroków, zamiast słupków prawdopodobieństwa dostaniemy ciągłą krzywą. Jest to tzw. rozkład logarytmiczno-normalny. Wiemy zatem, jakie jest prawdopodobieństwo dowolnej ceny końcowej.
Mnożenie i sumowanie dla bardzo wielkiej liczby kroków to całka z iloczynu funkcji. W granicy otrzymuje się słynny wzór Blacka-Scholesa. Nie podaję go tutaj, bo jest nie całkiem przejrzysty, ale miał tę zaletę, że pozwalał ceny opcji liczyć nawet na kalkulatorze wyposażonym w funkcje matematyczne.
Na koniec jeszcze jedno: czy wzór Blacka-Scholesa wywołał kryzys finansowy z roku 2008? Odpowiedź jest banalna: kryzys wywołali ludzie nieuczciwi, którzy mieli nadzieję wywinąć się cało z podejrzanych operacji: kiedy sprzedaje się domy biedakom bez dochodów albo konstruuje papiery „zabezpieczone” przez bankrutów, skutki muszą być opłakane. Dużą rolę odegrał też nacisk polityczny: kredyty hipoteczne były tanie, bo wyborcy to lubią i kolejne administracje USA wywierały presję na FED i różne instytucje, a instytucje te nie dość mocno opierały się życzeniom polityków. W ekonomii nie ma darmowych lunchów. Ktoś musi zawsze zapłacić, prędzej czy później. I nie zawsze płaci ten, kto zjadł lunch. Winni są więc nie tylko „źli” bankierzy, ale także politycy pragnący „czynić dobro” nie swoim kosztem. Bankierzy o tym głośno nie mówili, bo takie są reguły gry: wiele banków inwestycyjnych przetrwało jedynie dzięki pomocy publicznej.
A wzór Blacka-Scholesa? Kiedy ktoś zabija człowieka, używając młotka, nie winimy młotków. Model Blacka-Scholesa nie jest bardziej winny niż młotek.
