Летом 1969 года в поселке Фрунзенском у Медведь-горы на очередных лагерных сборах Малой академии наук Крыма «Искатель» присутствовала большая группа учителей математики, в основном из районов и городов области. Преподаватели заинтересовались нашим подбором задач для учащихся, у которых только пробуждается интерес к математике. В беседах и спорах родилась мысль о создании этого пособия, было высказано немало предложений о его содержании и форме изложения материала. В последующие годы материалы пособия использовались в некоторых школах Крыма и вне его, на сессиях и олимпиадах Малой академии наук, в клубе сообразительных и смекалистых, а также в Юношеской математической школе (вечерней) г. Евпатории и т. д. Содержание сборника обсуждалось на различных предметных учительских совещаниях. За помощь и товарищескую поддержку во всей этой работе автор признателен Т. Л. Лысенко (областной институт .повышения квалификации учителей), А. П. Тннякову, С. Г. Пипко. В. А. Славнину и многим другим крымским педагогам, а также кафедре элементарной математики Симферопольского государственного университета.
Доступно к распечатке в типографии группы.
В настоящей книге изложение преследует цель перевести теорию групп из разряда узкоспециализированных дисциплин в диапазон общеобразовательных математических предметов за счет иной расстановки акцентов, повышения доступности идеологии и освещения прикладных аспектов. Проблематика охватывается довольно широко, от обычных основ до теории Галуа и групп Ли. Делается особый упор на приложения к динамическим системам. Рассматриваются также сопутствующие вопросы из общей алгебры. Изложение отличается краткостью и прозрачностью.
Для студентов, преподавателей, инженеров и научных
Охват материала соответствует курсам функционального анализа, изучаемым в университетах. Помимо функциональных пространств и линейных отображений рассматриваются также: теория меры, интеграл Лебега, элементы нелинейного анализа, положительные операторы. Изложение отличается краткостью и прозрачностью. Объяснения даются «человеческим языком». Значительное внимание уделяется мотивации результатов, взаимосвязям, общей картине.
Для студентов, преподавателей, инженеров и научных работников.
Книга отличается краткостью и прозрачностью изложения, вплоть до объяснений «на пальцах». Значительное внимание уделяется мотивации результатов и укрупненному видению. Помимо обычной для дифференциальных уравнений тематики рассматриваются: аттракторы и детерминированный хаос, бифуркации и катастрофы, солитоны. Просто и достаточно полно излагается теория устойчивости. Среди нововведений — ликбез по аналитической механике, начала теории регулирования, конусные методы, модели коллективного поведения. «Высокие материи» рассматриваются на доступном уровне. Определенная автономность частей позволяет ограничиться любым желаемым срезом содержания. Книга легко читается.
Для студентов, преподавателей, инженеров и научных работников.
Книга отличается краткостью и прозрачностью изложения, вплоть до объяснений «на пальцах». Значительное внимание уделяется мотивации результатов и укрупненному видению. В первой части дается обширный материал стандартных курсов математического анализа. Во второй, «необязательной», части излагаются — в стиле обзоров и очерков — примыкающие к анализу предметы: аналитические функции, топология и неподвижные точки, векторный анализ. «Высокие материи» рассматриваются на доступном уровне. Книга легко читается.
Для студентов, преподавателей, инженеров и научных работников.
Эмми Нётер родилась в семье математиков и с детства была очарована наукой. Вопреки всему, она стала ученой и добилась невиданных высот в своей профессии. Ее не волновали предрассудки и дискриминация, с которой она сталкивалась на протяжении всей жизни, будучи женщиной и еврейкой, страсть к науке затмевала все остальное.
Название: Classical Optics and Electromagnetic Waves Автор: N.E. Bickers Издательство: CRC Press Год: 2026 Страниц: 737 Язык: английский Формат: pdf (true), epub Размер: 50.3 MB
Classical Optics and Electromagnetic Waves offers an exploration of optics, the physics subfield examining light's properties and applications. Beginning with the mathematical foundations of electromagnetic waves in matter, the text develops geometric optics as the short-wavelength limit of Maxwell's Equations, establishing a framework for understanding wavefronts, light rays, and intensity variations. The work progresses methodically through image formation using mirrors and lenses in the paraxial approximation, employing transfer matrices for precise calculations. It thoroughly examines wave propagation through the Huygens-Fresnel and Fresnel-Kirchhoff integrals, comparing scalar and vector-field approaches while demonstrating their reduction to geometric optics. Diffraction receives comprehensive treatment across various scenarios—infinite slits, circular apertures, barriers, and gratings.
Название: Modern Mathematical Concepts for Engineers - Part I: From Infinitesimal Calculus to Measure Theory Автор: Erick Herbin, Pauline Lafitte Издательство: World Scientific Publishing Год: 2026 Страниц: 369 Язык: английский Формат: pdf (true) Размер: 10.6 MB
This textbook provides a comprehensive exploration of mathematical modeling, emphasizing the limitations of pointwise analysis and highlighting the great potential of measure theory. Measure theory not only offers better representations of phenomena, such as distributions and continuous probabilities, but also facilitates the analysis of classical partial differential equation problems. Additionally, the book introduces new classes of problems that go beyond traditional pointwise and infinitesimal analysis, integrating random and deterministic aspects into a unified framework. The narrative follows Bernard Namier, a young engineering apprentice, and Laurent Corps, a retired mathematics expert who tutors Bernard to tackle a challenging project assigned at work. Through their interwoven dialogue and the fictitious texts they study, readers are immersed in mathematical modeling as applied to engineering problems, with insights that extend to broader applications.
Название: Математические методы прикладной электродинамики Автор: Г.Т. Марков, Е.Н. Васильев Издательство: Советское радио Год издания: 1970 Количество страниц: 122 Язык: русский Формат: DJVU, PDF Размер: 10,14 Мб
Брошюра является продолжением книги Большакова И.А. и др. "Математические основы современной радиоэлектроники" и посвящена характеристике основных математических методов, применяемых в прикладной электродинамике. Рассматриваются методы анализа полей в волноводах и резонаторах, в том числе и открытых. Рассматриваются свободные волны в этих системах и возбуждение волн. Даются сведения о методах решения дифракционных задач в квазистатической, резонансной и квазиоптической областях. Излагаются методы решения задач рефракции. Наибольшее внимание уделяется асимптотическим методам в квазиоптической области, в том числе методам геометрической оптики и их обобщениям. Рассматриваются обратные электродинамические задачи. Описанные методы иллюстрируются на конкретных примерах. Брошюра рассчитана на широкий круг радиоинженеров, а также на студентов старших курсов радиотехнических вузов.
Название: Астрономия за 1 час (Аудиокнига) Автор: Наталья Сердцева Издательство: Эксмо Год: 2018 Формат: mp3 Битрейт аудио: 59 kb/s Время звучания: 2 ч. 27 мин. Читает: Алена Никонова Размер: 57.6 Мб Язык: русский
Освоение космоса давно шагнуло за рамки воображения: – каждый год космонавты отправляются за пределы Земли; – люди запускают спутники, часть которых уже сейчас преодолела Солнечную систему; – огромные телескопы наблюдают за звездами с орбиты нашей планеты. Кто был первым первопроходцем в небе? Какие невероятные теории стоят за нашими космическими достижениями? Что нас ждет в будущем? Эта книга кратко и понятно расскажет о самых важных открытиях в области астрономии, о людях, которые их сделали.
Win11Debloat — это скрипт на PowerShell, который помогает «облегчить» систему Windows 11 (и также работает на Windows 10), автоматически удаляя предустановленные «лишние» приложения, отключая телеметрию и рекламу, убирая навязчивые элементы интерфейса и настраивая некоторые параметры системы — то есть делает Windows лаконичнее, менее «загруженной» и более приватной.
Как признано почти всеми, из античных текстов самый трудный и ответственный, это – текст Аристотеля.
Я хотел дать текст Аристотеля без всяких изменений, т.е. дать не пересказ, а именно перевод, максимально точный перевод Аристотеля, и в то же время сделать его понятным. Прежде всего, я стараюсь, поскольку позволяет язык, передать точно фразу Аристотеля. Затем, когда это выполнено, я всячески стараюсь сделать ее максимально понятной. Для достижения такой понятности я широко пользуюсь методом квадратных скобок, как я его называю, т.е. начинаю вставлять пояснительные слова после каждого выражения, содержащего в себе какую-нибудь неясность или двусмысленность.
Давая перевод XIII и XIV книги «Метафизики», я рассматриваю свою теперешнюю работу как предложение русскому ученому миру и как пробу. Пусть люди, знающие дело, выскажутся, какой именно перевод Аристотеля нужен современной русской литературе.
Восьмикнижие:
1. Античный космос и современная наука. Μ., 1927. 550 стр.
2. Философия имени. Μ., 1927. 254 стр.
3. Музыка как предмет логики. Μ., 1927. 262 стр.
4. Диалектика художественной формы. М., 1927. 250 стр.
5. Диалектика числа у Плотина. М., 1928. 194 стр.
6. Критика платонизма у Аристотеля. М., 1929. 204 стр.
7. Очерки античного символизма и мифологии. М., 1930. 912 стр.
Как признано почти всеми, из античных текстов самый трудный и ответственный, это – текст Аристотеля.
Я хотел дать текст Аристотеля без всяких изменений, т.е. дать не пересказ, а именно перевод, максимально точный перевод Аристотеля, и в то же время сделать его понятным. Прежде всего, я стараюсь, поскольку позволяет язык, передать точно фразу Аристотеля. Затем, когда это выполнено, я всячески стараюсь сделать ее максимально понятной. Для достижения такой понятности я широко пользуюсь методом квадратных скобок, как я его называю, т.е. начинаю вставлять пояснительные слова после каждого выражения, содержащего в себе какую-нибудь неясность или двусмысленность.
Давая перевод XIII и XIV книги «Метафизики», я рассматриваю свою теперешнюю работу как предложение русскому ученому миру и как пробу. Пусть люди, знающие дело, выскажутся, какой именно перевод Аристотеля нужен современной русской литературе.
Восьмикнижие:
1. Античный космос и современная наука. Μ., 1927. 550 стр.
2. Философия имени. Μ., 1927. 254 стр.
3. Музыка как предмет логики. Μ., 1927. 262 стр.
4. Диалектика художественной формы. М., 1927. 250 стр.
5. Диалектика числа у Плотина. М., 1928. 194 стр.
6. Критика платонизма у Аристотеля. М., 1929. 204 стр.
7. Очерки античного символизма и мифологии. М., 1930. 912 стр.
8. Диалектика мифа. М., 1930. 250 стр.
Учебно-методическое пособие ориентировано на студентов информационных образовательных направлений, но будет также полезно всем, кто использует на своих персональных компьютерах операционную систему Windows. Одной из первых задач в работе на персональной технике — это настройка её так, чтобы было удобно работать в созданной среде. Кроме описания практических приемов по настройке, учебно-методическое пособие позволяет понять, почему сделанные настройки срабатывают, и в каком виде в системе это сохраняется.
В данном издании представлено 80 наиболее распространенных пород домашних собак. Чем они отличаются, кроме очевидных признаков – параметров тела, окраса и свойств шерсти, – описано и показано на иллюстрациях в этой книге. Особое внимание уделяется сведениям о длине и форме ушей и хвоста животных, поскольку в последние годы у многих пород перестали купировать эти части и внешне представители одной и той же породы могут выглядеть совершенно по-разному.
Универсальный проигрыватель мультимедиа с поддержкой большого количества медиа-форматов и потокового (streaming) видео. Размер программы: 41 мб
Лицензия: Freeware
Гутен таг! Немецкий – второй по популярности язык в Европе, и это ваш знак, чтобы начать его учить, ведь с методикой Дмитрия Петрова это можно сделать всего за 16 уроков! Метод заключается в изучении «матрицы» языка – набора ключевых слов и грамматических структур, которые всегда окажутся полезными в любых обстоятельствах. Основная цель – автоматизировать эти знания и уметь создавать множество комбинаций, используя ограниченный набор слов. Зная всего 300-400 базовых слов, вы сможете свободно говорить на самые разные темы и изучать богатое культурное наследие немецкоговорящих стран!
Ученик Платона и учитель Александра Македонского, Аристотель отличался от других философов своей универсальностью – сферой его интересов была не только философия, но также физика, математика, химия, биология и социология. Идеи, высказанные им две с половиной тысячи лет назад, не утратили своей актуальности и сегодня. Чтобы в этом убедиться, достаточно открыть любую из его книг.
Свой трактат «Политика» Аристотель посвятил созданию идеального государства. В нем он спорит с Платоном, считая, что проект учителя использует неудачные методы управления и типы общественного устройства. В «Физике» – над ней Аристотель работал всю жизнь – философу удалось показать развитие и становление данной науки, которая до него как отдельная дисциплина вообще не существовала. А в «Никомаховой этике» философ рассказывает о том, каким образом человек может стать счастливым, приобрести добродетель и благо. Последнее Аристотель рассматривает, кстати, как науку о государстве.
Все тексты снабжены подробными комментариями и разъяснениями.
«Красивый голос и четкая дикция за 30 дней. Только практика» — практическая книга Кирилла Плешакова-Качалина, руководителя «Школы природного голоса». Это проверенный практикой инструмент, который позволить улучшить голос и добиться четкой дикции.
15 ноября – знаменательный день в истории отечественного освоения космоса. Ровно 37 лет назад Землю облетел наш "Буран". А еще он благополучно вернулся оттуда. И это была победа...
Американцы строили свой "Спейс шаттл". Мы, естественно, не могли остаться в стороне. Ответом и стал "Буран". Это был корабль-ракетоплан многоразового использования. Правда слетал он один раз. Но, на это были уже другие причины.
В 1972 году Никсон объявил о новой программе. Называлась она "Спейс Шаттл". Программа, разумеется, была объявлена национальной. Планировали строить четыре корабля. Совершать по шестьдесят полетов в год. Деньги на это дело отпускались немалые – 5,5 млрд $. И это в деньгах 1972 года.
Челнок из СЩА, по задумке, должен был выводить на орбиту чуть ли не 30 тонн. А обратно возвращать – всего до 15-ти. Цифры, надо сказать, вызывали в СССР тихую оторопь. Американцы и так с помощью своих одноразовых ракет выводили около 150 тонн в год. А тут замахнулись сразу на 2 000. С орбиты же они почти ничего не возвращали.
Советскому Союзу они, конечно, объяснили, что главное тут – снижение транспортных расходов. Мол, экономика. В СССР тогда кое-что просчитали. Тогда было кому это делать. Выяснили, что насчет экономии – это американцы слабую "сказку" придумали. Никакого снижения затрат у них не предвиделось. И у программы другая цель. Вовсе не гражданская. А совсем наоборот. Что, в общем-то, было ожидаемо. Холодная война продолжалась.
Потому "Буран" изначально рассчитывался тоже как военная система. Иначе в тех условиях быть не могло.
Но была у "Бурана" одна особенность. Которой не было ни у кого. Он летал на полной автоматике в автономном режиме. Этот сейчас "беспилотники" – обыденность в технике и на войне. Но тогда на дворе был конец 80-х...
Полет назначили на холодное утро 29 октября 1988 года. "Буран" привезли на Байконур, прицепили к самой мощной в мире ракете "Энергия" и собирались запустить в небо. За 51 секунду до старта автоматика "отменила" запуск. Какая-то ферма с приборами отошла не так. Уже тогда стало ясно: главный пилот у этого корабля – не человек.
Успешный старт состоялся 15 ноября, в 6-00 по Москве. Погода, как нарочно, испортилась. Пускать корабль в такую непогоду казалось безумием. Но техническое руководство, махнув рукой, дало добро. Ракета "Энергия" оторвалась от земли и понесла "Буран" в космос.
С этого момента человек окончательно стал зрителем. В 06:08 корабль отделился от носителя и начал жить своей, независимой жизнью. Он сам вышел на орбиту, сам перезагрузил свою оперативную память, сам перекачал топливо из носовых баков в кормовые – для правильной центровки при посадке.
Два витка вокруг Земли заняли 206 минут. Интересное началось на обратном пути. В 08:20 бортовой компьютер включил двигатель, и "Буран" лег на курс домой. В 08:53, на высоте 90 километров, связь с ним прервалась – корабль вошел в плазменный кокон, раскаленный до тысяч градусов.
В 09:11 его поймали локаторы. Он летел со скоростью, в десять раз превышающей звуковую. И тут случилось неожиданное. "Буран" не пошел на посадку по стандартной схеме. Он вдруг заложил левый крен и ушел в сторону. Наземные операторы замерли. Позже выяснилось – "электронный пилот" рассчитал, что энергии для гашения слишком много, и выбрал более длинный, оптимальный путь. Программа сама нашла решение.
В 09:21 он вышел на посадочную глиссаду. Его уже сопровождал самолет МиГ-25. В 09:24 "Буран", борясь с сильным боковым ветром, коснулся посадочной полосы. Пробег ракетоплана составил 1 620 метров. Отклонение от оси выбега – всего 3 метра. Для первого и единственного полета – это высокая точность.
Через 10 минут после остановки ЦУП подал последнюю команду – обесточить системы. Корабль-самолет, совершивший первый в мире полностью автоматический полет в космос и обратно, замер на полосе.
Потом его поставили в ангар, где он медленно разрушался. Империя Союза треснула. Идея оказалась не нужна. Политика и экономика возобладали и страна переходила на новые рельсы. Но тот ноябрьский полет остался в истории. Как напоминание о том, что мы могли...
Другие интересные технологические саги — в авторском телеграм-канале. Проходите по ссылке
Статья «Последствия неразрешимости в физике для теории всего», недавно опубликованная в Journal of Holography Applications in Physics группой во главе с Миром Файзалом, навела шороху в Рунете. Шутка ли: авторы утверждают, что Вселенная не может быть компьютерной симуляцией.
Это не вскользь брошенное замечание: тезис вынесен в аннотацию (abstract) статьи, где суммируются самые важные результаты исследования. Помимо этого, публикация пестрит громкими словами о «неалгоритмируемом понимании», ссылками на великие теоремы и содержит пафосную фразу «крах вычислительных объяснений не означает крах науки».
Прежде чем погружаться в детали, обрисуем результат в двух словах. Авторы полагают, что фундаментальная «теория всего», суммирующая все физические законы, обязана содержать результаты, невычислимые на компьютере. Из этого они делают вывод, что мир не компьютер. Выходит, исследователи открыли нам фундаментальную истину о Вселенной? Увы, все совсем не так просто. Во-первых, все совсем не просто, во-вторых, все совсем не так.
Что такое теория всего
Разберемся для начала, что же такое эта самая теория всего. Сегодня в физике есть две теории, претендующие на описание самых глубоких законов, управляющих материей, пространством и временем.
Первая — Стандартная модель физики элементарных частиц, о которой Naked Science подробно рассказывал. Она описывает поведение частиц и все силы, действующие между ними, кроме гравитации. Стандартная модель превосходно проверена экспериментами, и пока в физике частиц известен только один достоверный экспериментальный результат, который в нее не укладывается — наличие массы у нейтрино.
Вторая теория — Общая теория относительности (ОТО), представляющая гравитацию как свойство пространства-времени. Она тоже отлично проверена экспериментами и наблюдениями, от хронометров на самолетах до детекторов гравитационных волн. Но и у нее есть слабые места. Например, в центре черной дыры кривизна пространства-времени обращается в бесконечность. Там теория перестает работать: ОТО «не знает», что делать с бесконечной кривизной.
Обе теории очень хороши, хотя несовершенны. Проблема в том, что они несовместимы друг с другом. Стандартная модель основана на квантовых принципах, ОТО — нет. Попытки создать квантовую теорию гравитации проваливаются с завидной регулярностью. На эту тему есть много спекуляций, но нет нормально работающей теории. Гипотетическая теория, которая объединит Стандартную модель с ОТО, и называется Теорией всего. Физики надеются, что она устранит слабые места обеих теорий.
Сделать из науки игру
Теперь объясним, что такое неразрешимость, о которой говорят авторы недавней статьи. Заодно расскажем, что на самом деле доказал Гедель, которого к месту и не к месту поминают любители пофилософствовать.
На заре XX века математики озаботились вопросом: нет ли в их построениях скрытых ошибок и противоречий? Тому было несколько причин. Например, такая: математики начали работать с очень абстрактными объектами, непривычными человеческому мышлению, — многомерными пространствами, абстрактными множествами и так далее. Этот подход открыл невиданные возможности: в XX веке сделано больше математических открытий, чем за всю предыдущую историю человечества. Но он таит в себе и опасность.
Даже ребенок заметит, что во фразе «рассмотрим пятиугольный треугольник» что-то не так. Заметить подвох во фразе «рассмотрим множество всех множеств» гораздо труднее, хотя она столь же противоречива. А если допустить в построениях хоть одно противоречие, то можно «доказать» что угодно. Философ и математик Бертран Рассел любил повторять: «Позвольте мне принять, что дважды два — пять, и я докажу, что вы папа римский».
Разгорелись жаркие дебаты о том, как надо доказывать теоремы и проверять доказательства. В них участвовали, наверное, все крупные математики эпохи.
Великий Давид Гильберт предложил радикальный подход. Идея состояла в том, чтобы следить за соблюдением правил в математических рассуждениях было так же легко, как в шахматной партии. Есть список правил, какая фигура как ходит. Любой желающий легко проверит, сделан ход по правилам или нет.
Четыре шага к предельной ясности
Расскажем, как это работает. Первый шаг — записать алфавит теории, то есть перечислить символы, которыми можно пользоваться. Обычно это латинские буквы, цифры, скобки, логические знаки и так далее.
Шаг второй — определить, какие наборы символов будут утверждениями. Например, утверждением является строка «Ɐ nn > 2 => n > 1». Ее смысл: любое число n, которое больше двух, больше и единицы (логический символ Ɐ означает «любое»). А вот строка, скажем, «(((((89==» никаким утверждением не является, это просто бессмысленный набор символов.
К счастью, довольно легко сформулировать правила, отличающие осмысленные сочетания знаков от бессмысленных. Эти правила столь же конкретны и однозначны, как указания, как ходит ферзь, а как конь. Например, скобки используются парами, два знака = не могут идти подряд, и так далее.
Первые два шага, которые мы сделали, называются «определить язык теории». Языки бывают разные. Например, пусть в нашем языке есть знак умножения, но нет знака возведения в степень. Тогда утверждение «для любого целого числа n верно n 2 × n = n 3» придется записывать как «Ɐ n n × n × n = n × n × n». Это неудобно и затемняет смысл, но все-таки возможно. А вот как записать на столь бедном языке утверждение «для любых целых чисел a, n, m верно a n × a m = a n+m»? Никак. Язык, в котором нет возведения в степень, просто не способен выразить эту мысль. Мы ведь не можем поставить значок умножения n раз, если речь идет о всех возможных n сразу.
Таким образом, от языка теории зависит, какие утверждения на нем можно записать, а какие нет. Есть более выразительные и менее выразительные языки. Запомним этот очень важный факт, он нам понадобится.
Определившись с языком, мы делаем третий шаг: выбираем, какие утверждения языка будут аксиомами нашей теории.
И, наконец, четвертый и последний шаг: определяем, какие цепочки утверждений мы согласны считать доказательствами. Конечно, мы не составляем список всех доказательств — их бесконечно много. Нужно только сформулировать правила, которым должна удовлетворять цепочка утверждений, ведущая от аксиом к утверждению X, чтобы считаться доказательством утверждения X. Разумеется, в основе этих правил — общепризнанные законы логики.
Механический математик
Объясним, зачем нужны все эти мучения. Добровольно ограничив свои возможности предельно конкретными, механическими правилами, мы не оставили места никаким софизмам, двусмысленностям и противоречиям.
Формальное доказательство может проверить даже тот, кто не знает математики, а всего лишь сверяется со списком правил. Не обязательно хорошо играть в шахматы, чтобы сказать, пошел ли конь буквой Г. Сейчас этот подход известен как формализация, или построение формальной теории. Его используют для компьютерной проверки математических доказательств.
Кстати, о компьютерах. Формальная теория дает нам, казалось бы, безотказный способ доказательства теорем. Как доказать, скажем, теорему Ферма? Первый шаг — записать ее на языке формальной теории. Потом можно просто перебирать все возможные цепочки утверждений в алфавитном порядке. Рано или поздно одна из них окажется доказательством теоремы Ферма. А если бы теорема Ферма была ошибочна, рано или поздно мы наткнулись бы на доказательство противоположного ей утверждения.
Курт Гедель / Фото с сайта www.flickr.com
Насколько рано и насколько поздно для лучших современных суперкомпьютеров? Ну, скажем, Солнце наверняка успеет погаснуть. Возможность найти доказательство прямым перебором — чисто теоретическая. Но важно, что для любой доказуемой теоремы в принципе существует алгоритм, который находит ее доказательство.
Гедель делает больно
Стоп. Что значит «рано или поздно одна из цепочек окажется доказательством теоремы Ферма»? Мы ведь не сказали, какие аксиомы мы используем. Построим игрушечную теорию с языком, на котором можно записать теорему Ферма, но единственной аксиомой: «Ɐ n n = n» (она утверждает, что любое число равно самому себе). Из такой, с позволения сказать, аксиоматики не выведешь даже таблицу умножения, не то что теорему Ферма.
Что же случится с алгоритмом, тупо перебирающим бесконечное множество цепочек, составленных из утверждений нашей теории, в поисках доказательства или опровержения теоремы Ферма? Он будет выполняться вечно и никогда не придет к результату, то есть, как говорят программисты, зациклится.
Нетрудно догадаться — но можно и строго обосновать, — что вообще никакой алгоритм, ограниченный правилами нашей игрушечной теории, не сможет доказать теорему Ферма. Потому что невозможно найти кошку там, где ее нет. Эта задача попросту неразрешима в нашей теории.
Зачем мы придумали такую дурацкую теорию — с единственной и бесполезной аксиомой? Чтобы проиллюстрировать неприятную истину, известную как теорема Геделя о неполноте. Она гласит: в любой формальной теории, язык которой достаточно выразителен, найдутся недоказуемые и неопровержимые утверждения. Их можно записать на языке теории, но нельзя ни доказать, ни опровергнуть исходя из ее аксиом и по ее правилам доказательств. Причем неважно, что это за аксиомы и правила. Главное, чтобы они не противоречили друг другу.
Но, может быть, лишь самым сложным областям высшей математики требуются столь выразительные языки? К сожалению, нет. Уже язык арифметики — науки об операциях над целыми числами — слишком выразителен. Можно искусственно обеднить этот язык, но тогда мы не сможем выразить на нем многие важные математические факты (вспомните пример со степенью).
Что же это за таинственные утверждения, недоказуемые и неопровержимые в арифметике? Для начала следует определиться, о какой из ее формализаций мы говорим. Есть разные варианты формальной арифметики, но чаще других используется арифметика Пеано. Для нее самый известный пример — теорема Гудстейна.
Рубен Гудстейн доказал эту теорему в 1944 году. Десятилетия спустя математики убедились, что эту теорему нельзя ни доказать, ни опровергнуть в арифметике Пеано, хотя и можно сформулировать на ее языке. (В формулировке теоремы Гудстейна нет ничего сложнее возведения в степень, но она довольно длинная. Поэтому мы не будем ее приводить, отослав читателя хотя бы к википедии).
Каким образом Гудстейн доказал теорему, если это, казалось бы, невозможно? Ответ прост: математик не ограничивался методами, разрешенными в арифметике Пеано. Он вообще работал не в формальной теории, а, как все нормальные люди, рассуждал на естественном языке (в его случае — английском).
В своих рассуждениях ученый использовал более мощные средства доказательства, чем дозволены арифметикой Пеано. Однако они тоже вполне законны — во всяком случае, по мнению большинства математиков.
Мозг сильнее компьютера?
Означает ли это, что Гудстейн применил некое таинственное «неалгоритмируемое понимание» в терминах Файзала и коллег? Нет, не означает. Доказательство Гудстейна прекрасно формализуется в более мощной теории, чем арифметика Пеано — а именно, в арифметике второго порядка. Так, может быть, в топку Пеано, и давайте все доказательства записывать в арифметике второго порядка? Увы, теорема Геделя гласит, что там найдутся свои собственные неразрешимые задачи, и так без конца.
Заявка на «неалгоритмирумое понимание» вообще очень спорна. Многие философы и ученые предполагают, что само человеческое мышление есть выполнение дьявольски сложного и разветвленного алгоритма. Они говорят: человек, конечно, не в силах осознать и тем более записать алгоритм, по которому мыслит, но этот алгоритм есть.
Споры о том, так это или нет, не утихают десятилетиями. Но выход человеческого мышления за рамки конкретной формальной теории, будь то арифметика Пеано или не построенная пока «теория всего», точно не свидетельствует ни о каком «неалгоритмируемом понимании».
Истина, нарезанная соломкой
Не обязательно формализовывать целую область математики, такую как арифметика. Можно формализовать и доказательство отдельно взятой теоремы. После этого проверку доказательства можно поручить компьютеру. Среди математиков есть любители такого труда. Однако это очень долгое и утомительное занятие даже для довольно простых теорем.
Программисты знают, какой кропотливый труд — перевод «с человеческого на компьютерный». Поэтому подавляющее большинство математиков не заботится о формализации и машинной проверке своих результатов. Достаточно, чтобы доказательство было понятно коллегам, проверено и одобрено ими. Что там свежие результаты — далеко не все теоремы, входящие в вузовские учебники, уже формализованы и проверены компьютерами. Впрочем, они столько раз проверены людьми, что в них и так никто не сомневается.
Итак, задача формальной проверки каждой доказанной теоремы оказалась непомерно трудной. Формализация больших математических теорий наталкивается на неразрешимые задачи, согласно теореме Геделя. Мечта сделать всю математику ясной как шахматы оказалась утопией. Но и страх допустить противоречие тоже ушел: математики научились аккуратно обращаться с коварными абстрактными понятиями, о которые их предшественники разбивали себе лбы столетие назад. Сегодня формализация теорем — это небольшая боковая ветвь математики.
Физики нарушают правила
Если математики за XX век почти поголовно разочаровались в формализации, то физики только-только ею заинтересовались. Пока математики десятилетиями копались в вопросе, как сделать свои строгие рассуждения еще более строгими, физики обращались с математическими понятиями, по чьему-то меткому выражению, как повар с картошкой.
В той же Стандартной модели до сих пор хватает трюков, с точки зрения математика просто жульнических. Математика говорит, что переход к этой формуле незаконен? Обидно, конечно, но мы его сделаем. Он нам очень нужен, ведь формула подтверждена экспериментом.
Для физиков главный судья — опыт, а не математическая строгость. Если его величество эксперимент согласен с формулой, то все равно, откуда она взялась, хоть во сне приснилась. Как ее получить без насилия над математикой, разберемся когда-нибудь потом (но это не точно).
К концу XX века развитие теоретической физики замедлилось. Возможно, именно скромный прогресс в создании новых физических теорий заставил некоторых физиков обратить внимание на формализацию, теорему Геделя и прочие забавы «чистых математиков». Появился целый куст работ, авторы которых формализовывали ту или иную физическую задачу и показывали ее неразрешимость в этой формализации.
Досталось и ОТО, и квантовой теории поля, лежащей в основе Стандартной модели. Группа Файзала ссылается на эти результаты и резонно утверждает: в теории всего, если ее построить и формализовать, тоже найдутся неразрешимые утверждения. Да, найдутся. И что? При чем здесь вопрос, является ли Вселенная компьютерной симуляцией? Проследим последний и самый лихой извив мысли авторов.
Следуй за белым кроликом
Логика здесь обманчиво проста. Допустим, что мы все-таки живем «в матрице». Мировой компьютер, как и любой другой компьютер, работает согласно алгоритму. Этот алгоритм вычисляет, как поведет себя каждая частица во Вселенной. А с другой стороны, давайте представим, что у нас есть формальная теория всего. Она описывает самые фундаментальные физические законы. Все остальные законы, будь то закон Ома или закон Архимеда, суть их следствия, приложения и частные случаи.
Значит, по мнению авторов, алгоритм вселенского компьютера должен вычислять ответ на любой вопрос, который можно сформулировать на языке теории всего. Но старик Гедель запрещает такие фокусы: в любой формальной теории есть утверждения, о которых никакой алгоритм не даст ответа, истинные они или ложные! Значит, мы не живем в компьютерной симуляции. Занавес, аплодисменты.
Что не так в этом рассуждении? Увы, авторы банально спутали теорию с реальностью.
Да, алгоритм вселенского компьютера обязан вычислять исход любого события в мире. В том числе — результат любого эксперимента, который когда-либо будет в силах провести человек. Другими словами, он должен вычислять ответ на вопрос, если этот вопрос экспериментально проверяем. Это очень важное «если».
Предположим, доктор Умникс создал теорию квантовой гравитации и формализовал ее. Затем профессор Скрупулез обнаружил, что в рамках формальной теории Умникса неразрешим вопрос, пушистая ли кракозябра. Скрупулез провел эксперимент над кракозяброй и убедился, что она пушистая.
Что мы в результате узнаем о Вселенной? Только что, что она не всегда следует формальной теории Умникса. Потому что Вселенная дает ответ на вопрос, на который в рамках этой теории ответить невозможно.
Может ли такая Вселенная быть симуляцией? Разумеется. Просто ее алгоритмы должны манипулировать чем-то большим, чем доказательства, разрешенные в теории Умникса. Тогда они смогут решить вопрос о кракозябре. Так же как арифметика второго порядка доказывает теорему Гудстейна, недоказуемую в арифметике Пеано.
Допустим, спустя полвека доктор Мудрикс предложит теорию, решающую проблему кракозябры. Его коллега профессор Дотошнов найдет и проверит в экспериментах новый неразрешимый вопрос — скажем, о бармаглоте. Что из этого последует? Опять-таки дилемма: либо Вселенная не симуляция, либо механизм этой симуляции богаче не только теории Умникса, но и теории Мудрикса.
Какие бы новые эксперименты мы ни провели, какие бы теории ни построили, мы никогда не избавимся от подобных дилемм. Можно взять формальную теорию и доказать, что она не в силах вычислить результат проведенного эксперимента. Но нельзя доказать, что результат проведенного эксперимента не вычислим вообще ни в какой формальной теории. По простой причине: количество проведенных экспериментов всегда останется конечным.
В принципе, в алгоритм Вселенной достаточно дописать нужное число строк вроде «кракозябра в лаборатории профессора Скрупулеза всегда должна быть пушистой», и этот алгоритм будет идеально соответствовать всем экспериментальным данным. Трудно поверить, что Вселенная функционирует по столь уродливым правилам, но и опровергнуть это невозможно.
Окончательная истина?
Так дело в том, что теории Умникса и Мудрикса несовершенны? Что ж, давайте предположим, что в 2300 году Единый Разум Земли, вобравший в себя всю мощь искусственных и естественных интеллектов планеты, додумался до Подлинной теории всего. Эта формальная теория решает все вопросы, которые могут быть когда-либо кем-либо проверены экспериментально. Она вычисляет исходы всех ситуаций, которые когда-либо происходили или произойдут.
Допустим, сверхразум в своей теории открыл те самые алгоритмы, по которым работает Вселенная-симулятор (хотя, заметим в скобках, он никогда не сможет убедиться в том, что они — действительно те самые).
Будут ли в формальной Подлинной Теории Всего неразрешимые задачи? Да. Даже сверхинтеллект не в силах отменить математическую истину, открытую Геделем. Как это согласовать с предположением, что Вселенная — симулятор? Нужно просто сказать, что это задачи о событиях, которые никогда и нигде не происходили и не произойдут. Поэтому у космического компьютера нет никакой необходимости их решать.
Невежественным людишкам XXI века казалось, что эти события вполне возможны? Они даже составили список задач, формально неразрешимых в ОТО или квантовой теории поля? Что ж, когда-то людям казалось, что Земля плоская, а потом — что она шар, а потом — что она эллипсоид.
Сейчас мы знаем, что все это — лишь приближения к истине. Каждое из них точнее предыдущего, но на самом деле Земля имеет слегка неправильную форму, для которой изобрели специальное название «геоид». Не то чтобы автор этих строк плохо думал об ОТО, Стандартной модели или гипотетической пока «теории всего». Просто так устроены все физические теории, когда-либо созданные человечеством.
В конечном счете это лишь модели, предсказывающие экспериментальные результаты с точностью, которая устраивает экспериментатора. Если и возможна Подлинная теория всего, мы сейчас понятия не имеем, на что она будет похожа, а тем более — какие задачи будут в ней неразрешимы.
Как же все-таки опровергнуть гипотезу, что Вселенная — компьютерная симуляция? Никак. Она неопровержима. Как и гипотеза, что Вселенная появилась секунду назад в нынешнем виде — с костями динозавров в музеях и готовыми воспоминаниями в наших головах. Как и гипотеза, что весь мир — лично ваша иллюзия. Как и еще куча странных измышлений, из которых никто еще не вывел ни одного нетривиального проверяемого факта.
Гипотеза о симулированной Вселенной столь же неопровержима, сколь и бесполезна — во всяком случае, пока какой-нибудь хакер не научился заходить в другие симуляции или выполнять на космическом компьютере произвольный код.
Сухой остаток
Подведем итоги этого поневоле длинного и, возможно, сложноватого текста.
Да, в любой формальной теории с достаточно выразительным языком есть неразрешимые задачи. Эта истина, открытая в первой половине XX века, сегодня уже банальна. Да, если формализовать физическую теорию, такие задачи будут и там.
Нет, физиков это совершенно не беспокоит. Потому что физики в своих выкладках практически никогда не ограничиваются средствами формальной теории. Что там добровольная аскеза формалистов, физики порой позволяют себе нарушать даже элементарные математические правила, лишь бы в итоге получалась работающая модель. Работающая — значит, правильно предсказывающая результаты экспериментов.
Нет, наличие неразрешимых задач в формальных физических теориях вообще ничего не говорит о том, может ли Вселенная быть компьютерной симуляцией.
Да, публикация статьи, предлагающей ответ на «главный вопрос жизни, Вселенной и вообще», в «Журнале применения голографии в физике» должна насторожить. Публикация в непрофильном журнале — это явный признак, что статью не взяли в профильный.
Нет, на авторитет статьи в научном журнале, увы, не всегда можно полагаться.
В предлагаемом справочнике представлены полные и современные сведения практически обо всех видах медицинских анализов крови: общеклинических, биохимических, гормональных, иммунологических и многих других.
Особое внимание уделено описанию причин изменения нормальных показателей, влиянию на эти изменения заболеваний, лекарств и даже ошибок при заборе анализа.
Название: Теория графов (2022) Автор: Карпов Д.В. Издательство: М.: Московский центр непрерывного математического образования (МЦНМО) Год: 2022 Формат: djvu Страниц: 555 Размер: 14 mb Язык: Русский
Книга включает в себя рассказ о теории графов — от классики до современных результатов. Как правило, в началах глав изложены несложные классические результаты, доступные сильным школьникам, которые плавно переходят в изложение непростого материала для тех, кто хочет глубоко разобраться в теории графов или даже стать специалистом в этой науке. В конце книги приведены условия более 200 задач разного уровня сложности. Для студентов математических специальностей и всех интересующихся теорией графов.
Практика йоги, возникшая в Индии тысячи лет назад, направлена на развитие тела, ума и души. Пошаговые фотографии и анатомические иллюстрации, представленные в этой книге, подскажут, как выполнить ту или иную асану, объясняют какие мышцы напряжены в каждой позе. Также вы найдете полезные подсказки, как правильно выполнять и удерживать асану, как найти позу, которая лучше позволяет сосредоточиться на определенных областях вашего тела.
Название: Мой бедный, бедный мастер... (Полное собрание редакций и вариантов романа "Мастер и Маргарита") Автор: Булгаков М. А. Издательство: Вагриус ISBN: 978-5-9697-0364-3 Год: 2006 Формат: DjVu Страниц: 1007 Размер: 20,4 Мб Язык: Русский
Известный знаток творчества Михаила Булгакова В.И.Лосев реконструировал историю создания одного из самых известных романов XX века. В томе представлены все сохранившиеся важнейшие редакции романа. Каждый из текстов заметно отличается от последующих, каждый по новому интерпретирует описываемые события и героев «закатного» романа, добавляя к ним новые яркие штрихи... Представлен в томе и канонический текст «Мастера и Маргариты». Для любящих творчество М.А.Булгакова чтение этого подробно и со знанием дела откомментированного тома - увлекательнейшее занятие. Читатель проследит эволюцию замысла, увидит, как крепла рука мастера, как преображалось произведение, связанное тончайшими нитями с современной писателю действительностью.
Название: Problems and Solutions on Quantum Mechanics, 2nd Edition Серия: Major American Universities Ph.D. Qualifying Questions and Solutions - Physics Автор: Swee Cheng Lim, Choy Heng Lai, Leong-Chuan Kwek Издательство: World Scientific Год: 2022 Формат: pdf Страниц: 701 Размер: 14,5 Мб Язык: английский
This volume is a comprehensive compilation of carefully selected questions at the PhD qualifying exam level, including many actual questions from Columbia University, University of Chicago, MIT, State University of New York at Buffalo, Princeton University, University of Wisconsin and the University of California at Berkeley over a twenty-year period. Topics covered in this book include the basic principles of quantum phenomena, particles in potentials, motion in electromagnetic fields, perturbation theory and scattering theory, among many others.This latest edition has been updated with more problems and solutions and the original problems have also been modernized, excluding outdated questions and emphasizing those that rely on calculations. The problems range from fundamental to advanced in a wide range of topics on quantum mechanics, easily enhancing the student's knowledge through workable exercises. Simple-to-solve problems play a useful role as a first check of the student's level of knowledge whereas difficult problems will challenge the student's capacity on finding the solutions.
Книга представляет собой комплексное руководство по профилактике и контролю артериальной гипертензии — одного из самых распространённых заболеваний современности. Автор, опытный специалист в области профилактики хронических заболеваний, делится профессиональными знаниями и практическими рекомендациями по борьбе с «тихим убийцей». В современном мире гипертония становится всё более актуальной проблемой, затрагивающей не только пожилых людей, но и молодёжь. Книга раскрывает причины развития заболевания, факторы риска и методы профилактики, помогая читателям защитить себя и близких от опасного недуга.
Название: Важное о гипертонии Автор: Татьяна Костоварова Издательство: Автор Год: 2025 Формат: fb2, pdf Страниц: 60 Размер: 10.0 Мб Язык: русский
Книга представляет собой комплексное руководство по профилактике и контролю артериальной гипертензии — одного из самых распространённых заболеваний современности. Автор, опытный специалист в области профилактики хронических заболеваний, делится профессиональными знаниями и практическими рекомендациями по борьбе с «тихим убийцей». В современном мире гипертония становится всё более актуальной проблемой, затрагивающей не только пожилых людей, но и молодёжь. Книга раскрывает причины развития заболевания, факторы риска и методы профилактики, помогая читателям защитить себя и близких от опасного недуга.
